「365体育电玩城app」数学谬证大全:1+1≠2的n种可能
八大胜在线赌场  2020-01-11 15:37:05  

「365体育电玩城app」数学谬证大全:1+1≠2的n种可能

365体育电玩城app,各种花式谬证

你看过多少?

最近看到几个有趣的数学谬证,想写下来与大家分享;结果写到这个又想到那个,一写就写个没完,于是想到干脆做一篇谬证大全,收集各种荒谬的证明。

1=2?史上最经典的“证明”

设 a = b ,则 a·b = a² ,等号两边同时减去 b² 就有 a·b – b² = a² – b² 。

注意,这个等式的左边可以提出一个 b ,右边是一个平方差,于是有 b·(a – b) = (a + b)(a – b) 。

约掉 (a – b) 有 b = a + b 。

然而 a = b ,因此 b = b + b ,也即 b = 2b 。

约掉 b ,得 1 = 2 。

这可能是有史以来最经典的谬证了。 ted chiang 在他的短篇科幻小说 division by zero 中写到:

这个证明的问题所在想必大家都已经很清楚了:等号两边是不能同时除以 a – b 的,因为我们假设了 a = b ,也就是说 a – b 是等于 0 的。

无穷级数的力量 (1)

小学时,这个问题困扰了我很久:下面这个式子等于多少?

1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …

一方面,

1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …

= [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + …

= 0 + 0 + 0 + …

= 0

另一方面,

1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …

= 1 + [(-1) + 1] + [(-1) + 1] + [(-1) + …

= 1 + 0 + 0 + 0 + …

= 1

这岂不是说明 0 = 1 吗?

后来我又知道了,这个式子还可以等于 1/2 。不妨设 s = 1 + (-1) + 1 + (-1) + … , 于是有 s = 1 – s ,解得 s = 1/2 。

学习了微积分之后,我终于明白了,这个无穷级数是发散的,它没有一个所谓的“和”。无穷个数相加的结果是多少,这个是需要定义的。

无穷级数的力量 (2)

同样的戏法可以变出更多不可思议的东西。例如,令

x = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …

则有

2x = 2 + 4 + 8 + 16 + …

于是

2x – x = x = (2 + 4 + 8 + 16 + …) – (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) = -1

也就是说

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … = -1

平方根的阴谋 (1)

定理:所有数都相等。

证明:取任意两个数 a 和 b ,令 t = a + b 。于是,

a + b = t

(a + b)(a – b) = t(a – b)

a² – b² = t·a – t·b

a² – t·a = b² – t·b

a² – t·a + (t²)/4 = b² – t·b + (t²)/4

(a – t/2)² = (b – t/2)²

a – t/2 = b – t/2

a = b

怎么回事儿?

问题出在倒数第二行。

永远记住, x² = y² 并不能推出 x = y ,只能推出 x = ±y 。

平方根的阴谋 (2)

1 = √1 = √(-1)(-1) = √-1·√-1 = -1

嗯?

只有 x 、 y 都是正数时, √x·y = √x·√y 才是成立的。

-1 的平方根有两个, i 和 -i 。 √(-1)(-1) 展开后应该写作 i·(-i) ,它正好等于 1 。

复数才是王道

考虑方程

x² + x + 1 = 0

移项有

x² = – x – 1

等式两边同时除以 x ,有

x = – 1 – 1/x

把上式代入原式中,有

x² + (-1 – 1/x) + 1 = 0

x² – 1/x = 0

x³ = 1

也就是说 x = 1。

把 x = 1 代回原式,得到 1² + 1 + 1 = 0 。也就是说, 3 = 0 ,嘿嘿!

其实, x = 1 并不是方程 x² + x + 1 = 0 的解。在实数范围内,方程 x² + x + 1 = 0 是没有解的,但在复数范围内有两个解。

另一方面, x = 1 只是 x³ = 1 的其中一个解。 x³ = 1 其实一共有三个解,只不过另外两个解是复数范围内的。考虑方程 x³ – 1 = (x – 1)(x² + x + 1) = 0 ,容易看出 x³ = 1 的两个复数解正好就是 x² + x + 1 的两个解。因此, x² + x + 1 = 0 与 x³ = 1 同时成立并无矛盾。

注意,一旦引入复数后,这个谬论才有了一个完整而漂亮的解释。或许这也说明了引入复数概念的必要性吧。

颇具喜剧色彩的错误

众所周知,

1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1) / 2

让我们用 n – 1 去替换 n ,可得

1 + 2 + 3 + … + (n-1) = (n-1)n / 2

等式两边同时加 1 ,得:

1 + 2 + 3 + … + n = (n-1)n / 2 + 1

也就是

n(n+1) / 2 = (n-1)n / 2 + 1

展开后有

n² / 2 + n / 2 = n² / 2 – n / 2 + 1

可以看到 n = 1 是这个方程的唯一解。

也就是说⋯⋯ 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1) / 2 仅在 n = 1 时才成立!

这个推理过程中出现了一个非常隐蔽而搞笑的错误。等式两边同时加 1 后,等式左边得到的应该是

1 + 2 + 3 + … + (n-2) + (n-1) + 1

1 块钱等于 1 分钱?

我要用数学的力量掏空你的钱包!请看:

1 元 = 100 分 = (10 分)² = (0.1 元)² = 0.01 元 = 1 分

用这个来骗小孩子们简直是屡试不爽,因为小学(甚至中学)教育忽视了一个很重要的思想:单位也是要参与运算的。

事实上, “100 分 = (10 分)²” 是不成立的, “10 分” 的平方应该是 “100 平方分” ,正如 “10 米” 的平方是 “100 平方米” 一样。

数学归纳法的杯具 (1)

下面这个“证明”是由数学家 george pólya 给出的:任意给定 n 匹马,可以证明这 n 匹马的颜色都相同。

对 n 施归纳:首先,当 n = 1 时命题显然成立。若命题对 n = k 成立,则考虑 n = k + 1 的情形:由于 {#1, #2, …, #k} 这 k 匹马的颜色相同, {#2, #3, …, #k+1 } 这 k 匹马也相同,而这两组马是有重叠的,可知这 k+1 匹马的颜色也都相同了。

这个证明错在,从 n = 1 推不出 n = 2 ,虽然当 n 更大的时候,这个归纳是正确的。这是数学归纳法出错的一个比较奇特的例子:基础情形和归纳推理都没啥问题,偏偏卡在归纳过程中的某一步上。

数学归纳法的杯具 (2)

下面,我来给大家证明,所有正整数都相等。

为了证明这一点,只需要说明对于任意两个正整数 a 、 b ,都有 a = b 。

为了证明这一点,只需要说明对于所有正整数 n ,如果 max(a, b) = n ,那么 a = b 。

我们对 n 施归纳。当 n = 1 时,由于 a 、 b 都是正整数,因此 a 、 b 必须都等于 1 ,所以说 a = b 。若当 n = k 时命题也成立,现在假设 max(a, b) = k + 1 。则 max(a – 1, b – 1) = k ,由归纳假设知 a – 1 = b – 1 ,即 a = b 。

这个问题出在, a – 1 或者 b – 1 有可能不是正整数了,因此不能套用归纳假设。

1 是最大的正整数?

来自网友 boring david 发来的邮件:

证明: 1 是最大的正整数。假设最大的正整数不是 1 ,是 a ,则必有 a > 1 。于是有 a² > a ,即 a² 是一个比 a 更大的正整数,与 a 的最大性矛盾。因此 1 是最大的正整数。

这个证明是错误的。在假设最大正整数是 a 之前,你得先说明它的存在性,排除最大的正整数根本不存在的可能性(而事实情况正是后者)。

所有三角形都是等腰三角形

别以为谬证都是隐藏在数字和字母之中的。下面就是一个经典的几何谬论。

画一个任意三角形 abc 。下面我将证明, ab = ac ,从而说明所有三角形都是等腰三角形。

令 bc 的中垂线与 ∠a 的角平分线交于点 p 。过 p 作 ab 、 ac 的垂线,垂足分别是 e 、 f 。

由于 ap 是角平分线,因此 p 到两边的距离相等,即 pe = pf 。

于是,由 aas 可知 △ape ≌ △apf 。

由于 dp 是中垂线,因此 p 到 b 、 c 的距离相等,由 sss 可知 △bpd ≌ △cpd 。

另外,由于 pe = pf , pb = pc ,且 ∠bep = ∠cfp = 90° ,由 hl 可知 △bep ≌ △cfp 。

现在,由第一对全等三角形知 ae = af ,由最后一对全等三角形知 be = cf ,因此 ae + be = af + cf ,即 ab = ac 。

这个证明过程其实字字据理,并无破绽。证明的问题出在一个你完全没有意识到的地方——这个图形就是错的!

事实上, bc 的中垂线与 ∠a 的角平分线不可能交于三角形的内部。我们可以证明, p 点总是落在 △abc 的外接圆上。

如图, p 是 bc 的中垂线与外接圆的交点,显然 p 就是弧 bc 的中点,即弧 bp = 弧 pc 。

因此, ∠bap = ∠cap ,换句话说 p 恰好就在 ∠a 的角平分线上。

p 在 △abc 外的话,会对我们的证明产生什么影响呢?

你会发现,垂足的位置发生了本质上的变化—— f 跑到 ac 外面去了!

也就是说,结论 ae + be = af + cf 并不错,只是 af + cf 并不等于 ac 罢了。

一个可怕的逻辑错误

下面这个勾股定理的“证明”曾经发表在 1896 年的 the american mathematical monthly 杂志上:

假设勾股定理是正确的,于是我们可以得到

ab² = ac² + bc²

bc² = cd² + bd²

ac² = ad² + cd²

把后两式代入第一个式子,有

ab² = ad² + 2·cd² + bd²

但 cd^2 = ad·bd ,因此

ab² = ad² + 2·ad·bd + bd²

ab² = (ad + bd)²

ab = ad + bd

而这显然成立。因此,我们的假设也是成立的。

这个证明是错误的。假设结论正确,推出一个矛盾,确实能说明这个假设是错误的(这就是反证法);但假设结论正确,推出它与条件吻合,这却并不能说明假设真的就是正确的。错误的假设也有可能推出正确的结果来。

最经典的例子就是,不妨假设 1 = 2 ,由等式的对称性可知 2 = 1 ,等量加等量有 1+2 = 2+1 ,即 3 = 3 。但 3 = 3 是对的并不能表明 1 = 2 是对的。

如此反证

下面这个有趣的故事来源于 lewis carroll 的一篇题为 a logical paradox 的小论文。

joe 去理发店理发。理发店有 a 、 b 、 c 三位师傅,但他们并不总是待在理发店里。 joe 最喜欢 c 的手艺,他希望此时 c 在理发店里。他远远地看见理发店还开着,说明里面至少有一位师傅。另外, a 是一个胆小鬼,没有 b 陪着的话 a 从不离开理发店。

joe 推出了这么一个结论: c 必然在理发店内。让我们来看看他的推理过程。

反证,假设 c 不在理发店。这样的话,如果 a 也不在理发店,那么 b 就必须在店里了,因为店里至少有一个人;然而,如果 a 不在理发店, b 也理应不在理发店,因为没有 b 陪着的话 a 是不会离开理发店的。因此,由 “c 不在理发店” 同时推出了 “若 a 不在则 b 一定在” 和 “若 a 不在则 b 也一定不在” 两个矛盾的结论。这说明, “c 不在理发店” 的假设是错误的。

从已有的条件看, c 当然有可能不在理发店。但是,为什么 joe 竟然证出了 c 一定在理发店呢?因为他的证明是错的。其实, “若 a 不在则 b 一定在” 和 “若 a 不在则 b 也一定不在” 并不矛盾——如果事实上 a 在理发店,那么这两个条件判断句都是真的。 “若 a 不在则 b 一定在” 真正的否定形式应该是 “a 不在并且 b 也不在” 。

自然语言的表达能力

我曾写过:

定理:

所有的数都可以用 20 个以内的汉字表达(比如 25852016738884976640000 可以表达为“二十三的阶乘”, 100000000000000000000000 可以表达为“一后面二十三个零”)

证明:

反证,假设存在不能用 20 个以内的汉字表达的数,则必有一个最小的不能用 20 个以内的汉字表达的数,而这个数已经用“最小的不能用 20 个以内的汉字表达的数”表达出来了,矛盾。

当然,这个定理明显是错的,因为 20 个汉字的组合是有限的,而数是无限多的。这个证明错在哪儿了呢?我也没办法一针见血地道出个所以然来,大家一起来讨论吧。

有趣的是,我们有一个与之相关的(正确的)定理:存在一个实数,它不能用有限个汉字来表达。

这是因为,有限长的汉字字符串是可数的,而实数是不可数的。更有趣的是,这个定理的证明必然是非构造性的。

两边同时取导数 (1)

取一个正整数 n 。则有

n² = n + n + n + … + n ( n 个 n )

两边同时取导数,有

2n = 1 + 1 + 1 + … + 1 = n

两边同时除以 n ,得2 = 1

数学威武!

这个推理是有问题的(废话)。随着 n 的增加,等式右边的 n 的个数却没变,因此 n² 的增长率比等式右边更大。

两边同时取导数 (2)

令 x = 1 ,两边同时取导数, 1 = 0 。哈哈!

问题出在哪儿?这里有意略去答案不写,呵呵。

链式法则也出错?

下面这个例子告诉我们,数学符号混淆不得,分清每个数学符号的意义有多重要。

定义 f(x, y) := (x + y)² ,然后令 x = u – v ,令 y = u + v 。我们有:

∂f/∂x = ∂f/∂y = 2(x + y)

∂x/∂v = -1

∂y/∂v = +1

根据链式法则,有

∂f/∂v = (∂f/∂x)·(∂x/∂v) + (∂f/∂y)·(∂y/∂v)

= 2(x + y)·(-1) + 2(x + y)·(1)

= 0

但是, f(u, v) = (u + v)² ,因此 ∂f/∂v = 2(u + v) = 2y 。这岂不是说明 y = 0 了么?但是,条件里并没有什么地方规定 y = 0 呀?这怎么回事?

问题出在,整个推理过程把两个不同的函数都用 f 来表示了。事实上,一个函数是 f(x, y) := (x + y)²,另一个函数是 f(u, v) = f(u – v, u + v) = (2u)² 。链式法则求的并不是 ∂f/∂v ,而是 ∂f/∂v 。

不定积分的困惑

我们尝试用分部积分法求解 ∫ (1/x) dx 。

令 u = 1/x , dv = dx

du = -1/x² dx , v = x

于是 ∫ (1/x) dx = (1/x)x – ∫ x(-1/x²) dx = 1 + ∫ (1/x) dx

怎么回事?

不怎么回事。这个等式是成立的。别忘了,不定积分的最后结果要加上一个常数 c 。

记得学高数时,求一积分,两哥们儿做出来的答案差别很大,而且试了很久也没能把其中一个答案变形成另外一个。后来终于恍然大悟:他们的答案是有可能不相同的,可以差一个常数嘛!

貌似漏掉了什么

很多 goldbach 猜想、孪生素数猜想的“证明”都栽在了下面这个有时候很不容易注意到漏洞。

让我们来证明一个看上去有些不可思议的结论: πe 是一个有理数。首先注意到,对任意有理数 r , logπr 都是无理数,否则令 s = logπr ,我们就有 πs = r ,这与 π 是超越数矛盾。

现在,假设 πe 是无理数,也就是说对任意有理数 r , πe 都不等于 r 。这也就是说,对任意一个 r , logππe 都不等于 logπr 。由前面的结论, logππe 就不等于任意一个无理数。但logππe 是等于 e 的,这与 e 的无理性矛盾了。因此,我们的假设是错的—— πe 是一个有理数。

对于有理数 r ,logπr 确实是无理数;但遍历所有的有理数 r ,并不能让 logπr 遍历所有的无理数,而 e 正好就等于某个漏掉的无理数。

不过,也不要想当然地认为, πe 当然是一个无理数。目前为止, πe 是否有理还是一个谜。

本文由超级数学建模编辑整理

资料来源于

http://www.matrix67.com/blog/archives/3718

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